3.69 \(\int \frac{x^4 \left (d+e x^2+f x^4\right )}{\left (a+b x^2+c x^4\right )^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=436 \[ \frac{x \left (a \left (-2 a c f+b^2 f-b c e+2 c^2 d\right )-x^2 \left (-b c (c d-3 a f)-2 a c^2 e+b^3 (-f)+b^2 c e\right )\right )}{2 c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}\right ) \left (-\frac{b^2 c (19 a f+c d)-8 a b c^2 e+4 a c^2 (c d-5 a f)-3 b^4 f+b^3 c e}{\sqrt{b^2-4 a c}}+b c (13 a f+c d)-6 a c^2 e-3 b^3 f+b^2 c e\right )}{2 \sqrt{2} c^{5/2} \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}+\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{\sqrt{b^2-4 a c}+b}}\right ) \left (\frac{b^2 c (19 a f+c d)-8 a b c^2 e+4 a c^2 (c d-5 a f)-3 b^4 f+b^3 c e}{\sqrt{b^2-4 a c}}+b c (13 a f+c d)-6 a c^2 e-3 b^3 f+b^2 c e\right )}{2 \sqrt{2} c^{5/2} \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{\sqrt{b^2-4 a c}+b}}+\frac{f x}{c^2} \]

[Out]

(f*x)/c^2 + (x*(a*(2*c^2*d - b*c*e + b^2*f - 2*a*c*f) - (b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b
^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f))*x^2))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^
2*c*e - 6*a*c^2*e - 3*b^3*f + b*c*(c*d + 13*a*f) - (b^3*c*e - 8*a*b*c^2*e - 3*b^
4*f + 4*a*c^2*(c*d - 5*a*f) + b^2*c*(c*d + 19*a*f))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(S
qrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(2*Sqrt[2]*c^(5/2)*(b^2 - 4*a*c)
*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ((b^2*c*e - 6*a*c^2*e - 3*b^3*f + b*c*(c*d + 13*
a*f) + (b^3*c*e - 8*a*b*c^2*e - 3*b^4*f + 4*a*c^2*(c*d - 5*a*f) + b^2*c*(c*d + 1
9*a*f))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]
]])/(2*Sqrt[2]*c^(5/2)*(b^2 - 4*a*c)*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 12.6618, antiderivative size = 436, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 30, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.133 \[ \frac{x \left (a \left (-c (2 a f+b e)+b^2 f+2 c^2 d\right )-x^2 \left (-b c (c d-3 a f)-2 a c^2 e+b^3 (-f)+b^2 c e\right )\right )}{2 c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}\right ) \left (-\frac{b^2 c (19 a f+c d)-8 a b c^2 e+4 a c^2 (c d-5 a f)-3 b^4 f+b^3 c e}{\sqrt{b^2-4 a c}}+b c (13 a f+c d)-6 a c^2 e-3 b^3 f+b^2 c e\right )}{2 \sqrt{2} c^{5/2} \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}+\frac{\tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{\sqrt{b^2-4 a c}+b}}\right ) \left (\frac{b^2 c (19 a f+c d)-8 a b c^2 e+4 a c^2 (c d-5 a f)-3 b^4 f+b^3 c e}{\sqrt{b^2-4 a c}}+b c (13 a f+c d)-6 a c^2 e-3 b^3 f+b^2 c e\right )}{2 \sqrt{2} c^{5/2} \left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{\sqrt{b^2-4 a c}+b}}+\frac{f x}{c^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[(x^4*(d + e*x^2 + f*x^4))/(a + b*x^2 + c*x^4)^2,x]

[Out]

(f*x)/c^2 + (x*(a*(2*c^2*d + b^2*f - c*(b*e + 2*a*f)) - (b^2*c*e - 2*a*c^2*e - b
^3*f - b*c*(c*d - 3*a*f))*x^2))/(2*c^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((b^
2*c*e - 6*a*c^2*e - 3*b^3*f + b*c*(c*d + 13*a*f) - (b^3*c*e - 8*a*b*c^2*e - 3*b^
4*f + 4*a*c^2*(c*d - 5*a*f) + b^2*c*(c*d + 19*a*f))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(S
qrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(2*Sqrt[2]*c^(5/2)*(b^2 - 4*a*c)
*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ((b^2*c*e - 6*a*c^2*e - 3*b^3*f + b*c*(c*d + 13*
a*f) + (b^3*c*e - 8*a*b*c^2*e - 3*b^4*f + 4*a*c^2*(c*d - 5*a*f) + b^2*c*(c*d + 1
9*a*f))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]
]])/(2*Sqrt[2]*c^(5/2)*(b^2 - 4*a*c)*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]])

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 127.085, size = 478, normalized size = 1.1 \[ \frac{f x}{c^{2}} + \frac{x \left (a \left (- 2 a c f + b^{2} f - b c e + 2 c^{2} d\right ) + x^{2} \left (- 3 a b c f + 2 a c^{2} e + b^{3} f - b^{2} c e + b c^{2} d\right )\right )}{2 c^{2} \left (- 4 a c + b^{2}\right ) \left (a + b x^{2} + c x^{4}\right )} - \frac{\sqrt{2} \left (- 2 a c \left (- 10 a c f + 3 b^{2} f - b c e + 2 c^{2} d\right ) + b \left (- 13 a b c f + 6 a c^{2} e + 3 b^{3} f - b^{2} c e - b c^{2} d\right ) + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \left (- 13 a b c f + 6 a c^{2} e + 3 b^{3} f - b^{2} c e - b c^{2} d\right )\right ) \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}} \right )}}{4 c^{\frac{5}{2}} \sqrt{b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} \left (- 4 a c + b^{2}\right )^{\frac{3}{2}}} + \frac{\sqrt{2} \left (- 2 a c \left (- 10 a c f + 3 b^{2} f - b c e + 2 c^{2} d\right ) + b \left (- 13 a b c f + 6 a c^{2} e + 3 b^{3} f - b^{2} c e - b c^{2} d\right ) - \sqrt{- 4 a c + b^{2}} \left (- 13 a b c f + 6 a c^{2} e + 3 b^{3} f - b^{2} c e - b c^{2} d\right )\right ) \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}} \right )}}{4 c^{\frac{5}{2}} \sqrt{b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}} \left (- 4 a c + b^{2}\right )^{\frac{3}{2}}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate(x**4*(f*x**4+e*x**2+d)/(c*x**4+b*x**2+a)**2,x)

[Out]

f*x/c**2 + x*(a*(-2*a*c*f + b**2*f - b*c*e + 2*c**2*d) + x**2*(-3*a*b*c*f + 2*a*
c**2*e + b**3*f - b**2*c*e + b*c**2*d))/(2*c**2*(-4*a*c + b**2)*(a + b*x**2 + c*
x**4)) - sqrt(2)*(-2*a*c*(-10*a*c*f + 3*b**2*f - b*c*e + 2*c**2*d) + b*(-13*a*b*
c*f + 6*a*c**2*e + 3*b**3*f - b**2*c*e - b*c**2*d) + sqrt(-4*a*c + b**2)*(-13*a*
b*c*f + 6*a*c**2*e + 3*b**3*f - b**2*c*e - b*c**2*d))*atan(sqrt(2)*sqrt(c)*x/sqr
t(b + sqrt(-4*a*c + b**2)))/(4*c**(5/2)*sqrt(b + sqrt(-4*a*c + b**2))*(-4*a*c +
b**2)**(3/2)) + sqrt(2)*(-2*a*c*(-10*a*c*f + 3*b**2*f - b*c*e + 2*c**2*d) + b*(-
13*a*b*c*f + 6*a*c**2*e + 3*b**3*f - b**2*c*e - b*c**2*d) - sqrt(-4*a*c + b**2)*
(-13*a*b*c*f + 6*a*c**2*e + 3*b**3*f - b**2*c*e - b*c**2*d))*atan(sqrt(2)*sqrt(c
)*x/sqrt(b - sqrt(-4*a*c + b**2)))/(4*c**(5/2)*sqrt(b - sqrt(-4*a*c + b**2))*(-4
*a*c + b**2)**(3/2))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 3.49949, size = 511, normalized size = 1.17 \[ \frac{\frac{2 \sqrt{c} x \left (-2 a^2 c f+a \left (b^2 f-b c \left (e+3 f x^2\right )+2 c^2 \left (d+e x^2\right )\right )+b x^2 \left (b^2 f-b c e+c^2 d\right )\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )}-\frac{\sqrt{2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}\right ) \left (2 a c^2 \left (3 e \sqrt{b^2-4 a c}-10 a f+2 c d\right )+b^2 c \left (-e \sqrt{b^2-4 a c}+19 a f+c d\right )-b c \left (c d \sqrt{b^2-4 a c}+13 a f \sqrt{b^2-4 a c}+8 a c e\right )+b^3 \left (3 f \sqrt{b^2-4 a c}+c e\right )-3 b^4 f\right )}{\left (b^2-4 a c\right )^{3/2} \sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}-\frac{\sqrt{2} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{\sqrt{b^2-4 a c}+b}}\right ) \left (2 a c^2 \left (3 e \sqrt{b^2-4 a c}+10 a f-2 c d\right )-b^2 c \left (e \sqrt{b^2-4 a c}+19 a f+c d\right )-b c \left (c d \sqrt{b^2-4 a c}+13 a f \sqrt{b^2-4 a c}-8 a c e\right )+b^3 \left (3 f \sqrt{b^2-4 a c}-c e\right )+3 b^4 f\right )}{\left (b^2-4 a c\right )^{3/2} \sqrt{\sqrt{b^2-4 a c}+b}}+4 \sqrt{c} f x}{4 c^{5/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[(x^4*(d + e*x^2 + f*x^4))/(a + b*x^2 + c*x^4)^2,x]

[Out]

(4*Sqrt[c]*f*x + (2*Sqrt[c]*x*(-2*a^2*c*f + b*(c^2*d - b*c*e + b^2*f)*x^2 + a*(b
^2*f + 2*c^2*(d + e*x^2) - b*c*(e + 3*f*x^2))))/((b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^
4)) - (Sqrt[2]*(-3*b^4*f + 2*a*c^2*(2*c*d + 3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e - 10*a*f) + b^
2*c*(c*d - Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e + 19*a*f) + b^3*(c*e + 3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f) - b
*c*(c*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + 8*a*c*e + 13*a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f))*ArcTan[(Sqrt[2]
*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/((b^2 - 4*a*c)^(3/2)*Sqrt[b - Sqrt[b^2
- 4*a*c]]) - (Sqrt[2]*(3*b^4*f + 2*a*c^2*(-2*c*d + 3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e + 10*a
*f) - b^2*c*(c*d + Sqrt[b^2 - 4*a*c]*e + 19*a*f) + b^3*(-(c*e) + 3*Sqrt[b^2 - 4*
a*c]*f) - b*c*(c*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 8*a*c*e + 13*a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f))*ArcT
an[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/((b^2 - 4*a*c)^(3/2)*Sqrt[b
+ Sqrt[b^2 - 4*a*c]]))/(4*c^(5/2))

_______________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.086, size = 5928, normalized size = 13.6 \[ \text{output too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int(x^4*(f*x^4+e*x^2+d)/(c*x^4+b*x^2+a)^2,x)

[Out]

result too large to display

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \frac{{\left (b c^{2} d -{\left (b^{2} c - 2 \, a c^{2}\right )} e +{\left (b^{3} - 3 \, a b c\right )} f\right )} x^{3} +{\left (2 \, a c^{2} d - a b c e +{\left (a b^{2} - 2 \, a^{2} c\right )} f\right )} x}{2 \,{\left (a b^{2} c^{2} - 4 \, a^{2} c^{3} +{\left (b^{2} c^{3} - 4 \, a c^{4}\right )} x^{4} +{\left (b^{3} c^{2} - 4 \, a b c^{3}\right )} x^{2}\right )}} + \frac{f x}{c^{2}} + \frac{-\int \frac{2 \, a c^{2} d - a b c e -{\left (b c^{2} d +{\left (b^{2} c - 6 \, a c^{2}\right )} e -{\left (3 \, b^{3} - 13 \, a b c\right )} f\right )} x^{2} +{\left (3 \, a b^{2} - 10 \, a^{2} c\right )} f}{c x^{4} + b x^{2} + a}\,{d x}}{2 \,{\left (b^{2} c^{2} - 4 \, a c^{3}\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((f*x^4 + e*x^2 + d)*x^4/(c*x^4 + b*x^2 + a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*((b*c^2*d - (b^2*c - 2*a*c^2)*e + (b^3 - 3*a*b*c)*f)*x^3 + (2*a*c^2*d - a*b*
c*e + (a*b^2 - 2*a^2*c)*f)*x)/(a*b^2*c^2 - 4*a^2*c^3 + (b^2*c^3 - 4*a*c^4)*x^4 +
(b^3*c^2 - 4*a*b*c^3)*x^2) + f*x/c^2 + 1/2*integrate(-(2*a*c^2*d - a*b*c*e - (b
*c^2*d + (b^2*c - 6*a*c^2)*e - (3*b^3 - 13*a*b*c)*f)*x^2 + (3*a*b^2 - 10*a^2*c)*
f)/(c*x^4 + b*x^2 + a), x)/(b^2*c^2 - 4*a*c^3)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 9.91134, size = 17006, normalized size = 39. \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((f*x^4 + e*x^2 + d)*x^4/(c*x^4 + b*x^2 + a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(4*(b^2*c - 4*a*c^2)*f*x^5 + 2*(b*c^2*d - (b^2*c - 2*a*c^2)*e + (3*b^3 - 11*
a*b*c)*f)*x^3 + sqrt(1/2)*(a*b^2*c^2 - 4*a^2*c^3 + (b^2*c^3 - 4*a*c^4)*x^4 + (b^
3*c^2 - 4*a*b*c^3)*x^2)*sqrt(-((b^3*c^4 + 12*a*b*c^5)*d^2 + 2*(b^4*c^3 - 6*a*b^2
*c^4 - 24*a^2*c^5)*d*e + (b^5*c^2 - 15*a*b^3*c^3 + 60*a^2*b*c^4)*e^2 + (9*b^7 -
105*a*b^5*c + 385*a^2*b^3*c^2 - 420*a^3*b*c^3)*f^2 - 2*((3*b^5*c^2 - 13*a*b^3*c^
3 - 12*a^2*b*c^4)*d + (3*b^6*c - 40*a*b^4*c^2 + 150*a^2*b^2*c^3 - 120*a^3*c^4)*e
)*f + (b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b
*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^
4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^
2 - 2550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a
^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d + (27*b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550
*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^
3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*
c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b
*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*
a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 -
64*a^3*c^13)))/(b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8))*log(((3*
b^2*c^6 + 4*a*c^7)*d^4 + (9*b^3*c^5 - 20*a*b*c^6)*d^3*e + 3*(3*b^4*c^4 - 28*a*b^
2*c^5)*d^2*e^2 + (3*b^5*c^3 - 65*a*b^3*c^4 + 324*a^2*b*c^5)*d*e^3 - (5*a*b^4*c^3
- 81*a^2*b^2*c^4 + 324*a^3*c^5)*e^4 - (189*a^2*b^6 - 1971*a^3*b^4*c + 5625*a^4*
b^2*c^2 - 2500*a^5*c^3)*f^4 - ((81*b^8 - 945*a*b^6*c + 3213*a^2*b^4*c^2 - 3000*a
^3*b^2*c^3 + 2000*a^4*c^4)*d - (135*a*b^7 - 1323*a^2*b^5*c + 2727*a^3*b^3*c^2 +
2500*a^4*b*c^3)*e)*f^3 + 3*((27*b^6*c^2 - 117*a*b^4*c^3 - 150*a^2*b^2*c^4 + 200*
a^3*c^5)*d^2 + (27*b^7*c - 405*a*b^5*c^2 + 1461*a^2*b^3*c^3 - 500*a^3*b*c^4)*d*e
- (45*a*b^6*c - 558*a^2*b^4*c^2 + 1672*a^3*b^2*c^3)*e^2)*f^2 - ((27*b^4*c^4 + 8
0*a^2*c^6)*d^3 + 3*(18*b^5*c^3 - 123*a*b^3*c^4 - 100*a^2*b*c^5)*d^2*e + 3*(9*b^6
*c^2 - 165*a*b^4*c^3 + 692*a^2*b^2*c^4)*d*e^2 - (45*a*b^5*c^2 - 647*a^2*b^3*c^3
+ 2268*a^3*b*c^4)*e^3)*f)*x + 1/2*sqrt(1/2)*(2*(b^4*c^6 - 8*a*b^2*c^7 + 16*a^2*c
^8)*d^3 + 3*(b^5*c^5 - 8*a*b^3*c^6 + 16*a^2*b*c^7)*d^2*e - 18*(a*b^4*c^5 - 8*a^2
*b^2*c^6 + 16*a^3*c^7)*d*e^2 - (b^7*c^3 - 17*a*b^5*c^4 + 88*a^2*b^3*c^5 - 144*a^
3*b*c^6)*e^3 + (27*b^10 - 459*a*b^8*c + 2961*a^2*b^6*c^2 - 8818*a^3*b^4*c^3 + 11
360*a^4*b^2*c^4 - 4000*a^5*c^5)*f^3 - 3*(2*(12*a*b^6*c^3 - 121*a^2*b^4*c^4 + 392
*a^3*b^2*c^5 - 400*a^4*c^6)*d + (9*b^9*c - 153*a*b^7*c^2 + 947*a^2*b^5*c^3 - 253
6*a^3*b^3*c^4 + 2480*a^4*b*c^5)*e)*f^2 - 3*((3*b^6*c^4 - 14*a*b^4*c^5 - 32*a^2*b
^2*c^6 + 160*a^3*c^7)*d^2 - 26*(a*b^5*c^4 - 8*a^2*b^3*c^5 + 16*a^3*b*c^6)*d*e -
3*(b^8*c^2 - 17*a*b^6*c^3 + 98*a^2*b^4*c^4 - 224*a^3*b^2*c^5 + 160*a^4*c^6)*e^2)
*f + (4*(b^7*c^7 - 12*a*b^5*c^8 + 48*a^2*b^3*c^9 - 64*a^3*b*c^10)*d + (b^8*c^6 -
24*a*b^6*c^7 + 192*a^2*b^4*c^8 - 640*a^3*b^2*c^9 + 768*a^4*c^10)*e - (3*b^9*c^5
- 52*a*b^7*c^6 + 336*a^2*b^5*c^7 - 960*a^3*b^3*c^8 + 1024*a^4*b*c^9)*f)*sqrt((c
^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)
*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 305
1*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4
*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d + (27*b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b
^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 +
2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 +
484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3
*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b
^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^
2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)))*sqrt(-((b^3*c^4 + 12*a*b*c^5)*d^2 + 2*(b^4*c^3 - 6*a
*b^2*c^4 - 24*a^2*c^5)*d*e + (b^5*c^2 - 15*a*b^3*c^3 + 60*a^2*b*c^4)*e^2 + (9*b^
7 - 105*a*b^5*c + 385*a^2*b^3*c^2 - 420*a^3*b*c^3)*f^2 - 2*((3*b^5*c^2 - 13*a*b^
3*c^3 - 12*a^2*b*c^4)*d + (3*b^6*c - 40*a*b^4*c^2 + 150*a^2*b^2*c^3 - 120*a^3*c^
4)*e)*f + (b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8)*sqrt((c^8*d^4 +
4*b*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 +
(b^4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^
4*c^2 - 2550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 1
80*a^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d + (27*b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 -
550*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^
5*c^3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*
b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4
*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 -
49*a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^
12 - 64*a^3*c^13)))/(b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8))) - s
qrt(1/2)*(a*b^2*c^2 - 4*a^2*c^3 + (b^2*c^3 - 4*a*c^4)*x^4 + (b^3*c^2 - 4*a*b*c^3
)*x^2)*sqrt(-((b^3*c^4 + 12*a*b*c^5)*d^2 + 2*(b^4*c^3 - 6*a*b^2*c^4 - 24*a^2*c^5
)*d*e + (b^5*c^2 - 15*a*b^3*c^3 + 60*a^2*b*c^4)*e^2 + (9*b^7 - 105*a*b^5*c + 385
*a^2*b^3*c^2 - 420*a^3*b*c^3)*f^2 - 2*((3*b^5*c^2 - 13*a*b^3*c^3 - 12*a^2*b*c^4)
*d + (3*b^6*c - 40*a*b^4*c^2 + 150*a^2*b^2*c^3 - 120*a^3*c^4)*e)*f + (b^6*c^5 -
12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e + 6*(b
^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*b^2*
c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*b^2*
c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 + 125*
a^3*c^5)*d + (27*b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e)*f^
3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*c^4
- 65*a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)
*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(
3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 198*a
^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)))/(
b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8))*log(((3*b^2*c^6 + 4*a*c^7
)*d^4 + (9*b^3*c^5 - 20*a*b*c^6)*d^3*e + 3*(3*b^4*c^4 - 28*a*b^2*c^5)*d^2*e^2 +
(3*b^5*c^3 - 65*a*b^3*c^4 + 324*a^2*b*c^5)*d*e^3 - (5*a*b^4*c^3 - 81*a^2*b^2*c^4
+ 324*a^3*c^5)*e^4 - (189*a^2*b^6 - 1971*a^3*b^4*c + 5625*a^4*b^2*c^2 - 2500*a^
5*c^3)*f^4 - ((81*b^8 - 945*a*b^6*c + 3213*a^2*b^4*c^2 - 3000*a^3*b^2*c^3 + 2000
*a^4*c^4)*d - (135*a*b^7 - 1323*a^2*b^5*c + 2727*a^3*b^3*c^2 + 2500*a^4*b*c^3)*e
)*f^3 + 3*((27*b^6*c^2 - 117*a*b^4*c^3 - 150*a^2*b^2*c^4 + 200*a^3*c^5)*d^2 + (2
7*b^7*c - 405*a*b^5*c^2 + 1461*a^2*b^3*c^3 - 500*a^3*b*c^4)*d*e - (45*a*b^6*c -
558*a^2*b^4*c^2 + 1672*a^3*b^2*c^3)*e^2)*f^2 - ((27*b^4*c^4 + 80*a^2*c^6)*d^3 +
3*(18*b^5*c^3 - 123*a*b^3*c^4 - 100*a^2*b*c^5)*d^2*e + 3*(9*b^6*c^2 - 165*a*b^4*
c^3 + 692*a^2*b^2*c^4)*d*e^2 - (45*a*b^5*c^2 - 647*a^2*b^3*c^3 + 2268*a^3*b*c^4)
*e^3)*f)*x - 1/2*sqrt(1/2)*(2*(b^4*c^6 - 8*a*b^2*c^7 + 16*a^2*c^8)*d^3 + 3*(b^5*
c^5 - 8*a*b^3*c^6 + 16*a^2*b*c^7)*d^2*e - 18*(a*b^4*c^5 - 8*a^2*b^2*c^6 + 16*a^3
*c^7)*d*e^2 - (b^7*c^3 - 17*a*b^5*c^4 + 88*a^2*b^3*c^5 - 144*a^3*b*c^6)*e^3 + (2
7*b^10 - 459*a*b^8*c + 2961*a^2*b^6*c^2 - 8818*a^3*b^4*c^3 + 11360*a^4*b^2*c^4 -
4000*a^5*c^5)*f^3 - 3*(2*(12*a*b^6*c^3 - 121*a^2*b^4*c^4 + 392*a^3*b^2*c^5 - 40
0*a^4*c^6)*d + (9*b^9*c - 153*a*b^7*c^2 + 947*a^2*b^5*c^3 - 2536*a^3*b^3*c^4 + 2
480*a^4*b*c^5)*e)*f^2 - 3*((3*b^6*c^4 - 14*a*b^4*c^5 - 32*a^2*b^2*c^6 + 160*a^3*
c^7)*d^2 - 26*(a*b^5*c^4 - 8*a^2*b^3*c^5 + 16*a^3*b*c^6)*d*e - 3*(b^8*c^2 - 17*a
*b^6*c^3 + 98*a^2*b^4*c^4 - 224*a^3*b^2*c^5 + 160*a^4*c^6)*e^2)*f + (4*(b^7*c^7
- 12*a*b^5*c^8 + 48*a^2*b^3*c^9 - 64*a^3*b*c^10)*d + (b^8*c^6 - 24*a*b^6*c^7 + 1
92*a^2*b^4*c^8 - 640*a^3*b^2*c^9 + 768*a^4*c^10)*e - (3*b^9*c^5 - 52*a*b^7*c^6 +
336*a^2*b^5*c^7 - 960*a^3*b^3*c^8 + 1024*a^4*b*c^9)*f)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*
d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4
- 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2
550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^
2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d + (27*b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*
b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 5
1*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 -
75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)
*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3
*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a
^3*c^13)))*sqrt(-((b^3*c^4 + 12*a*b*c^5)*d^2 + 2*(b^4*c^3 - 6*a*b^2*c^4 - 24*a^2
*c^5)*d*e + (b^5*c^2 - 15*a*b^3*c^3 + 60*a^2*b*c^4)*e^2 + (9*b^7 - 105*a*b^5*c +
385*a^2*b^3*c^2 - 420*a^3*b*c^3)*f^2 - 2*((3*b^5*c^2 - 13*a*b^3*c^3 - 12*a^2*b*
c^4)*d + (3*b^6*c - 40*a*b^4*c^2 + 150*a^2*b^2*c^3 - 120*a^3*c^4)*e)*f + (b^6*c^
5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e +
6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*
b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*
b^2*c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 +
125*a^3*c^5)*d + (27*b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e
)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*
c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*
c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e +
3*(3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 1
98*a^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)
))/(b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8))) + sqrt(1/2)*(a*b^2*c
^2 - 4*a^2*c^3 + (b^2*c^3 - 4*a*c^4)*x^4 + (b^3*c^2 - 4*a*b*c^3)*x^2)*sqrt(-((b^
3*c^4 + 12*a*b*c^5)*d^2 + 2*(b^4*c^3 - 6*a*b^2*c^4 - 24*a^2*c^5)*d*e + (b^5*c^2
- 15*a*b^3*c^3 + 60*a^2*b*c^4)*e^2 + (9*b^7 - 105*a*b^5*c + 385*a^2*b^3*c^2 - 42
0*a^3*b*c^3)*f^2 - 2*((3*b^5*c^2 - 13*a*b^3*c^3 - 12*a^2*b*c^4)*d + (3*b^6*c - 4
0*a*b^4*c^2 + 150*a^2*b^2*c^3 - 120*a^3*c^4)*e)*f - (b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48
*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)
*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)
*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4*c^4
)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d + (27*
b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4
+ 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d
*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3
*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 22*a*
b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3)*f)
/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)))/(b^6*c^5 - 12*a*b^
4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8))*log(((3*b^2*c^6 + 4*a*c^7)*d^4 + (9*b^3*c^
5 - 20*a*b*c^6)*d^3*e + 3*(3*b^4*c^4 - 28*a*b^2*c^5)*d^2*e^2 + (3*b^5*c^3 - 65*a
*b^3*c^4 + 324*a^2*b*c^5)*d*e^3 - (5*a*b^4*c^3 - 81*a^2*b^2*c^4 + 324*a^3*c^5)*e
^4 - (189*a^2*b^6 - 1971*a^3*b^4*c + 5625*a^4*b^2*c^2 - 2500*a^5*c^3)*f^4 - ((81
*b^8 - 945*a*b^6*c + 3213*a^2*b^4*c^2 - 3000*a^3*b^2*c^3 + 2000*a^4*c^4)*d - (13
5*a*b^7 - 1323*a^2*b^5*c + 2727*a^3*b^3*c^2 + 2500*a^4*b*c^3)*e)*f^3 + 3*((27*b^
6*c^2 - 117*a*b^4*c^3 - 150*a^2*b^2*c^4 + 200*a^3*c^5)*d^2 + (27*b^7*c - 405*a*b
^5*c^2 + 1461*a^2*b^3*c^3 - 500*a^3*b*c^4)*d*e - (45*a*b^6*c - 558*a^2*b^4*c^2 +
1672*a^3*b^2*c^3)*e^2)*f^2 - ((27*b^4*c^4 + 80*a^2*c^6)*d^3 + 3*(18*b^5*c^3 - 1
23*a*b^3*c^4 - 100*a^2*b*c^5)*d^2*e + 3*(9*b^6*c^2 - 165*a*b^4*c^3 + 692*a^2*b^2
*c^4)*d*e^2 - (45*a*b^5*c^2 - 647*a^2*b^3*c^3 + 2268*a^3*b*c^4)*e^3)*f)*x + 1/2*
sqrt(1/2)*(2*(b^4*c^6 - 8*a*b^2*c^7 + 16*a^2*c^8)*d^3 + 3*(b^5*c^5 - 8*a*b^3*c^6
+ 16*a^2*b*c^7)*d^2*e - 18*(a*b^4*c^5 - 8*a^2*b^2*c^6 + 16*a^3*c^7)*d*e^2 - (b^
7*c^3 - 17*a*b^5*c^4 + 88*a^2*b^3*c^5 - 144*a^3*b*c^6)*e^3 + (27*b^10 - 459*a*b^
8*c + 2961*a^2*b^6*c^2 - 8818*a^3*b^4*c^3 + 11360*a^4*b^2*c^4 - 4000*a^5*c^5)*f^
3 - 3*(2*(12*a*b^6*c^3 - 121*a^2*b^4*c^4 + 392*a^3*b^2*c^5 - 400*a^4*c^6)*d + (9
*b^9*c - 153*a*b^7*c^2 + 947*a^2*b^5*c^3 - 2536*a^3*b^3*c^4 + 2480*a^4*b*c^5)*e)
*f^2 - 3*((3*b^6*c^4 - 14*a*b^4*c^5 - 32*a^2*b^2*c^6 + 160*a^3*c^7)*d^2 - 26*(a*
b^5*c^4 - 8*a^2*b^3*c^5 + 16*a^3*b*c^6)*d*e - 3*(b^8*c^2 - 17*a*b^6*c^3 + 98*a^2
*b^4*c^4 - 224*a^3*b^2*c^5 + 160*a^4*c^6)*e^2)*f - (4*(b^7*c^7 - 12*a*b^5*c^8 +
48*a^2*b^3*c^9 - 64*a^3*b*c^10)*d + (b^8*c^6 - 24*a*b^6*c^7 + 192*a^2*b^4*c^8 -
640*a^3*b^2*c^9 + 768*a^4*c^10)*e - (3*b^9*c^5 - 52*a*b^7*c^6 + 336*a^2*b^5*c^7
- 960*a^3*b^3*c^8 + 1024*a^4*b*c^9)*f)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^
6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 +
81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*b^2*c^3 +
625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c
^5)*d + (27*b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6
*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*
a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)
*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4
*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*
c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)))*sqrt(-
((b^3*c^4 + 12*a*b*c^5)*d^2 + 2*(b^4*c^3 - 6*a*b^2*c^4 - 24*a^2*c^5)*d*e + (b^5*
c^2 - 15*a*b^3*c^3 + 60*a^2*b*c^4)*e^2 + (9*b^7 - 105*a*b^5*c + 385*a^2*b^3*c^2
- 420*a^3*b*c^3)*f^2 - 2*((3*b^5*c^2 - 13*a*b^3*c^3 - 12*a^2*b*c^4)*d + (3*b^6*c
- 40*a*b^4*c^2 + 150*a^2*b^2*c^3 - 120*a^3*c^4)*e)*f - (b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6
+ 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*
c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*
c^6)*e^4 + (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4
*c^4)*f^4 - 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d +
(27*b^7*c - 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4
*c^4 + 3*a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^
5)*d*e + (9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4
*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 2
2*a*b^2*c^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3
)*f)/(b^6*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)))/(b^6*c^5 - 12*
a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8))) - sqrt(1/2)*(a*b^2*c^2 - 4*a^2*c^3 +
(b^2*c^3 - 4*a*c^4)*x^4 + (b^3*c^2 - 4*a*b*c^3)*x^2)*sqrt(-((b^3*c^4 + 12*a*b*c^
5)*d^2 + 2*(b^4*c^3 - 6*a*b^2*c^4 - 24*a^2*c^5)*d*e + (b^5*c^2 - 15*a*b^3*c^3 +
60*a^2*b*c^4)*e^2 + (9*b^7 - 105*a*b^5*c + 385*a^2*b^3*c^2 - 420*a^3*b*c^3)*f^2
- 2*((3*b^5*c^2 - 13*a*b^3*c^3 - 12*a^2*b*c^4)*d + (3*b^6*c - 40*a*b^4*c^2 + 150
*a^2*b^2*c^3 - 120*a^3*c^4)*e)*f - (b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7 - 64
*a^3*c^8)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*(b^3
*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^8 -
918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((27*b^
6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d + (27*b^7*c - 351*a*b^5
*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^5 +
25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c^2 -
132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*a*c^
7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*a^2*
c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 - 12*a
*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)))/(b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^
2*c^7 - 64*a^3*c^8))*log(((3*b^2*c^6 + 4*a*c^7)*d^4 + (9*b^3*c^5 - 20*a*b*c^6)*d
^3*e + 3*(3*b^4*c^4 - 28*a*b^2*c^5)*d^2*e^2 + (3*b^5*c^3 - 65*a*b^3*c^4 + 324*a^
2*b*c^5)*d*e^3 - (5*a*b^4*c^3 - 81*a^2*b^2*c^4 + 324*a^3*c^5)*e^4 - (189*a^2*b^6
- 1971*a^3*b^4*c + 5625*a^4*b^2*c^2 - 2500*a^5*c^3)*f^4 - ((81*b^8 - 945*a*b^6*
c + 3213*a^2*b^4*c^2 - 3000*a^3*b^2*c^3 + 2000*a^4*c^4)*d - (135*a*b^7 - 1323*a^
2*b^5*c + 2727*a^3*b^3*c^2 + 2500*a^4*b*c^3)*e)*f^3 + 3*((27*b^6*c^2 - 117*a*b^4
*c^3 - 150*a^2*b^2*c^4 + 200*a^3*c^5)*d^2 + (27*b^7*c - 405*a*b^5*c^2 + 1461*a^2
*b^3*c^3 - 500*a^3*b*c^4)*d*e - (45*a*b^6*c - 558*a^2*b^4*c^2 + 1672*a^3*b^2*c^3
)*e^2)*f^2 - ((27*b^4*c^4 + 80*a^2*c^6)*d^3 + 3*(18*b^5*c^3 - 123*a*b^3*c^4 - 10
0*a^2*b*c^5)*d^2*e + 3*(9*b^6*c^2 - 165*a*b^4*c^3 + 692*a^2*b^2*c^4)*d*e^2 - (45
*a*b^5*c^2 - 647*a^2*b^3*c^3 + 2268*a^3*b*c^4)*e^3)*f)*x - 1/2*sqrt(1/2)*(2*(b^4
*c^6 - 8*a*b^2*c^7 + 16*a^2*c^8)*d^3 + 3*(b^5*c^5 - 8*a*b^3*c^6 + 16*a^2*b*c^7)*
d^2*e - 18*(a*b^4*c^5 - 8*a^2*b^2*c^6 + 16*a^3*c^7)*d*e^2 - (b^7*c^3 - 17*a*b^5*
c^4 + 88*a^2*b^3*c^5 - 144*a^3*b*c^6)*e^3 + (27*b^10 - 459*a*b^8*c + 2961*a^2*b^
6*c^2 - 8818*a^3*b^4*c^3 + 11360*a^4*b^2*c^4 - 4000*a^5*c^5)*f^3 - 3*(2*(12*a*b^
6*c^3 - 121*a^2*b^4*c^4 + 392*a^3*b^2*c^5 - 400*a^4*c^6)*d + (9*b^9*c - 153*a*b^
7*c^2 + 947*a^2*b^5*c^3 - 2536*a^3*b^3*c^4 + 2480*a^4*b*c^5)*e)*f^2 - 3*((3*b^6*
c^4 - 14*a*b^4*c^5 - 32*a^2*b^2*c^6 + 160*a^3*c^7)*d^2 - 26*(a*b^5*c^4 - 8*a^2*b
^3*c^5 + 16*a^3*b*c^6)*d*e - 3*(b^8*c^2 - 17*a*b^6*c^3 + 98*a^2*b^4*c^4 - 224*a^
3*b^2*c^5 + 160*a^4*c^6)*e^2)*f - (4*(b^7*c^7 - 12*a*b^5*c^8 + 48*a^2*b^3*c^9 -
64*a^3*b*c^10)*d + (b^8*c^6 - 24*a*b^6*c^7 + 192*a^2*b^4*c^8 - 640*a^3*b^2*c^9 +
768*a^4*c^10)*e - (3*b^9*c^5 - 52*a*b^7*c^6 + 336*a^2*b^5*c^7 - 960*a^3*b^3*c^8
+ 1024*a^4*b*c^9)*f)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*
e^2 + 4*(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4
+ (81*b^8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4
- 4*((27*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d + (27*b^7*c
- 351*a*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*
a*b^2*c^5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d*e +
(9*b^6*c^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*
c^6 + 5*a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c
^5 - 15*a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6
*c^10 - 12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)))*sqrt(-((b^3*c^4 + 12*a*
b*c^5)*d^2 + 2*(b^4*c^3 - 6*a*b^2*c^4 - 24*a^2*c^5)*d*e + (b^5*c^2 - 15*a*b^3*c^
3 + 60*a^2*b*c^4)*e^2 + (9*b^7 - 105*a*b^5*c + 385*a^2*b^3*c^2 - 420*a^3*b*c^3)*
f^2 - 2*((3*b^5*c^2 - 13*a*b^3*c^3 - 12*a^2*b*c^4)*d + (3*b^6*c - 40*a*b^4*c^2 +
150*a^2*b^2*c^3 - 120*a^3*c^4)*e)*f - (b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^2*b^2*c^7
- 64*a^3*c^8)*sqrt((c^8*d^4 + 4*b*c^7*d^3*e + 6*(b^2*c^6 - 3*a*c^7)*d^2*e^2 + 4*
(b^3*c^5 - 9*a*b*c^6)*d*e^3 + (b^4*c^4 - 18*a*b^2*c^5 + 81*a^2*c^6)*e^4 + (81*b^
8 - 918*a*b^6*c + 3051*a^2*b^4*c^2 - 2550*a^3*b^2*c^3 + 625*a^4*c^4)*f^4 - 4*((2
7*b^6*c^2 - 108*a*b^4*c^3 - 180*a^2*b^2*c^4 + 125*a^3*c^5)*d + (27*b^7*c - 351*a
*b^5*c^2 + 1197*a^2*b^3*c^3 - 550*a^3*b*c^4)*e)*f^3 + 6*((9*b^4*c^4 + 3*a*b^2*c^
5 + 25*a^2*c^6)*d^2 + 2*(9*b^5*c^3 - 51*a*b^3*c^4 - 65*a^2*b*c^5)*d*e + (9*b^6*c
^2 - 132*a*b^4*c^3 + 484*a^2*b^2*c^4 - 75*a^3*c^5)*e^2)*f^2 - 4*((3*b^2*c^6 + 5*
a*c^7)*d^3 + 3*(3*b^3*c^5 - 4*a*b*c^6)*d^2*e + 3*(3*b^4*c^4 - 22*a*b^2*c^5 - 15*
a^2*c^6)*d*e^2 + (3*b^5*c^3 - 49*a*b^3*c^4 + 198*a^2*b*c^5)*e^3)*f)/(b^6*c^10 -
12*a*b^4*c^11 + 48*a^2*b^2*c^12 - 64*a^3*c^13)))/(b^6*c^5 - 12*a*b^4*c^6 + 48*a^
2*b^2*c^7 - 64*a^3*c^8))) + 2*(2*a*c^2*d - a*b*c*e + (3*a*b^2 - 10*a^2*c)*f)*x)/
(a*b^2*c^2 - 4*a^2*c^3 + (b^2*c^3 - 4*a*c^4)*x^4 + (b^3*c^2 - 4*a*b*c^3)*x^2)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(x**4*(f*x**4+e*x**2+d)/(c*x**4+b*x**2+a)**2,x)

[Out]

Timed out

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Exception raised: TypeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((f*x^4 + e*x^2 + d)*x^4/(c*x^4 + b*x^2 + a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError